เจาะลึกทฤษฎีของเบย์ (Bayes’ theorem) คืออะไร

ในทฤษฎีสถิติและความน่าจะเป็น ทฤษฎีของเบย์ (Bayes’ theorem) หรือที่เรียกว่ากฎของเบย์ เป็นสูตรทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการกำหนดความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ โดยพื้นฐานแล้ว ทฤษฎีของเบย์ (Bayes’ theorem) อธิบายถึงความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยพิจารณาจากความรู้เดิมเกี่ยวกับเงื่อนไขที่อาจเกี่ยวข้องกับเหตุการณ์นั้น

ทฤษฎีของเบย์ (Bayes’ theorem) ตั้งชื่อตามนักสถิติชาวอังกฤษ Thomas Bayes ผู้ค้นพบสูตรนี้ในปี 1763 ถือว่าเป็นรากฐานของวิธีการอนุมานทางสถิติพิเศษที่เรียกว่าการอนุมานของเบย์

นอกจากสถิติแล้ว ทฤษฎีของเบย์ (Bayes’ theorem) ยังใช้ในสาขาต่างๆ ด้วยยาและเภสัชวิทยาเป็นตัวอย่างที่โดดเด่นที่สุด นอกจากนี้ ทฤษฎีของเบย์ (Bayes’ theorem) มักใช้ในด้านการเงินต่างๆ แอปพลิเคชันบางตัวรวมถึงแต่ไม่จำกัดเพียง การสร้างแบบจำลองความเสี่ยงของการให้กู้ยืมเงินแก่ผู้กู้ หรือการคาดการณ์ความน่าจะเป็นของความสำเร็จของการลงทุน

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเบย์แพร่หลายและไม่ จำกัด เฉพาะด้านการเงิน ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีของเบย์ (Bayes’ theorem) สามารถใช้เพื่อกำหนดความถูกต้องของผลการทดสอบทางการแพทย์ โดยพิจารณาว่าบุคคลใดมีโอกาสเป็นโรคและความถูกต้องทั่วไปของการทดสอบมากน้อยเพียงใด ทฤษฎีบทของ Bayes อาศัยการรวมการแจกแจงความน่าจะเป็นก่อนหน้าเข้าด้วยกันเพื่อสร้างความน่าจะเป็นภายหลัง

ความน่าจะเป็นก่อนหน้า ในการอนุมานทางสถิติแบบเบย์ คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นก่อนที่จะรวบรวมข้อมูลใหม่ กล่าวคือ เป็นการประเมินอย่างมีเหตุผลที่ดีที่สุดของความน่าจะเป็นของผลลัพธ์โดยอิงจากความรู้ปัจจุบันก่อนทำการทดลอง

ความน่าจะเป็นภายหลังคือความน่าจะเป็นที่แก้ไขแล้วของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นหลังจากพิจารณาข้อมูลใหม่แล้ว ความน่าจะเป็นภายหลังคำนวณโดยการอัพเดทความน่าจะเป็นก่อนหน้าโดยใช้ทฤษฎีบทของเบย์ ในแง่สถิติ ความน่าจะเป็นภายหลังคือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้นเนื่องจากเหตุการณ์ B ได้เกิดขึ้น

ทฤษฎีของเบย์ (Bayes’ theorem) จึงให้ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์โดยพิจารณาจากข้อมูลใหม่ที่เกี่ยวข้องหรืออาจเกี่ยวข้องกับเหตุการณ์นั้น สูตรนี้ยังสามารถใช้เพื่อกำหนดว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นอาจได้รับผลกระทบจากข้อมูลใหม่สมมุติฐานอย่างไร สมมติว่าข้อมูลใหม่จะกลายเป็นความจริง

ตัวอย่างเช่น ลองจั่วไพ่ใบเดียวจากสำรับไพ่ทั้งหมด 52 ใบ

ความน่าจะเป็นที่ไพ่เป็นkingคือสี่หารด้วย 52 ซึ่งเท่ากับ 1/13 หรือประมาณ 7.69% จำไว้ว่ามีking4ใบในสำรับ ทีนี้ สมมติว่ามีการเปิดเผยว่าไพ่ที่เลือกเป็นface cards ความน่าจะเป็นที่ไพ่ที่เลือกจะเป็นking เนื่องจากเป็นไพ่face cardsแบ่งเป็น 4 หารด้วย 12 หรือประมาณ 33.3% เนื่องจากมีไพ่หน้า 12 ใบในสำรับ

สูตรสำหรับทฤษฎีบทเบย์

P(A|B) = P(B|A)x P(A) / P(B)

P(A|B) – ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ที่เกิดขึ้น โดยที่เหตุการณ์ B ได้เกิดขึ้นแล้ว

P(B|A) – ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B ที่เกิดขึ้น โดยที่เหตุการณ์ A ได้เกิดขึ้นแล้ว

P(A) – ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A

P(B) – ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B

ทฤษฎีบทของ Bayes เป็นไปตามสัจพจน์ของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งที่มีเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น คำถามความน่าจะเป็นง่ายๆ อาจถามว่า “ความน่าจะเป็นที่ราคาหุ้นของ Amazon.com ราคาลดลงคืออะไร” ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขทำให้คำถามนี้ก้าวไปอีกขั้นโดยถามว่า: “ความน่าจะเป็นที่ราคาหุ้น AMZN ราคาลดลงเมื่อพิจารณาจากดัชนี Dow Jones Industrial Average (DJIA) ราคาลดลงก่อนหน้านี้เป็นเท่าใด”

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของ A เนื่องจาก B เกิดขึ้นแล้ว สามารถแสดงได้ดังนี้

ถ้า A คือ: “ราคา AMZN ลดลง” ดังนั้น P(AMZN) คือความน่าจะเป็นที่ AMZN ราคาลดลงและ B คือ: “DJIA ล่มแล้ว” และ P(DJIA) คือความน่าจะเป็นที่ DJIA จะตกลงมา จากนั้นนิพจน์ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขจะอ่านว่า “ความน่าจะเป็นที่ AMZN ลดลงเนื่องจากการลดลงของ DJIA เท่ากับความน่าจะเป็นที่ราคา AMZN ลดลงและ DJIA ลดลงเมื่อเทียบกับความน่าจะเป็นที่ดัชนี DJIA ลดลง

P(AMZN|DJIA) = P(AMZN และ DJIA) / P(DJIA)

P(AMZN และ DJIA) คือความน่าจะเป็นที่ทั้ง A และ B จะเกิดขึ้น นี่ก็เหมือนกับความน่าจะเป็นที่ A จะเกิดขึ้นคูณด้วยความน่าจะเป็นที่ B เกิดขึ้นโดยที่ A เกิดขึ้น โดยแสดงเป็น P(AMZN) x P(DJIA|AMZN) ความจริงที่ว่าทั้งสองนิพจน์เท่ากันนำไปสู่ทฤษฎีบทของเบย์ซึ่งเขียนเป็น:

ถ้า P(AMZN และ DJIA) = P(AMZN) x P(DJIA|AMZN) = P(DJIA) x P(AMZN|DJIA)

จากนั้น P(AMZN|DJIA) = [P(AMZN) x P(DJIA|AMZN)] / P(DJIA)

โดยที่ P(AMZN) และ P(DJIA) คือความน่าจะเป็นของ Amazon และ Dow Jones ตกลงโดยไม่คำนึงถึงกันและกัน

สูตรนี้อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างความน่าจะเป็นของสมมติฐานก่อนที่จะเห็นหลักฐานที่ P(AMZN) และความน่าจะเป็นของสมมติฐานหลังจากได้รับหลักฐาน P(AMZN|DJIA) จากสมมติฐานสำหรับ Amazon โดยให้หลักฐานใน Dow

เป็นตัวอย่างที่เป็นตัวเลข ลองนึกภาพว่ามีการทดสอบยาที่แม่นยำ 98% หมายความว่า 98% ของเวลานั้นแสดงผลในเชิงบวกที่แท้จริงสำหรับผู้ที่ใช้ยา และ 98% ของเวลานั้นแสดงผลเป็นลบอย่างแท้จริง สำหรับผู้ไม่ใช้ยา

ต่อไป สมมติว่า 0.5% ของคนใช้ยา หากผู้ถูกสุ่มเลือกทดสอบผลบวกสำหรับยา การคำนวณต่อไปนี้สามารถคำนวณเพื่อกำหนดความน่าจะเป็นที่บุคคลนั้นจะเป็นผู้ใช้ยา

(0.98 x 0.005) / [(0.98 x 0.005) + ((1 – 0.98) x (1 – 0.005))] = 0.0049 / (0.0049 + 0.0199) = 19.76%

ทฤษฎีของเบย์ (Bayes’ theorem) แสดงให้เห็นว่าแม้ว่าบุคคลนั้นจะมีผลตรวจในเชิงบวกในสถานการณ์นี้ แต่ก็มีโอกาสประมาณ 80% ที่บุคคลนั้นจะไม่เสพยา